Segitiga Pascal dan Galton Board

Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga. Segitiga tersebut diberi nama berdasarkan oleh nama Blaise Pascal dalam kebanyakan dunia barat, meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Persia, Tiongkok, dan Italia.

Mari kita membuat segitiga pascal menggunakan excel. Caranya cukup mudah, ketik angka ‘1’ sebagai puncak dari segitiga, dalam gambar sel X4 diisi angka ‘1’. Lalu sel-sel di bawah berturut-turut merupakan penjumlahan dari sel di sebelah kiri dan kanan, misal sel V6 diisi dengan formula ‘=U5+W5’. Dengan bentuk yang diatur membentuk segitiga, maka dapat dihasilkan pola segitiga Pascal seperti gambar di bawah.

Deret segitiga Pascal ini “hanya” sampai 20 tingkat, karena angkanya yang secara drastis membesar. Walaupun excel mampu menangani angka yang besar, namun untuk keperluan pembelajaran dicukupkan hingga 20 tingkat saja.

Selain menggunakan rumus penjumlahan, ternyata segitifa Pascal dapat juga disusun di Excel menggunakan fungsi kombinasi “COMBIN()”. Dapat dilihat mulai sel AX4 pola yang sama disusun dengan fungsi COMBIN ini. Sebagai contoh pada sel AY8, untuk tingkat 4, kolom ke 2, maka fungsinya =COMBIN(4,1). Catatan : urutan tingkat dan kolom diawali dari 0 (nol)

Papan Galton (Galton Board)

Galton Board adalah papan permainan yang diciptakan oleh Sir Francis Galtonberupa papan yang di dalamnya berisi rangkaian paku-paku yang disusun membentuk segitiga, paling atas ditancapkan 1 paku, berikutnya di bawahnya 2 paku, dan berurutan 3, 4, 5, dst seperti nampak pada gambar di bawah. Nanti sebuah atau beberapa buah bola/kelereng diluncurkan dari atas, karena letak paku-paku tersebut maka pergerakan bola pada setiap tingkat memiliki 2 pilihan jatuh ke sebelah kiri atau kanan dari tiap paku, demikian seterusnya sehingga dapat dilihat pada tingkat paling bawah, kolom mana yang memiliki peluang paling banyak masuknya. (sumber gambar : Wolfram Mathworld)

Segitiga Pascal dapat digunakan untuk mengetahui peluang masuknya bola untuk setiap kolom. Jika peluang jatuh ke kiri dan jatuh ke kanan untuk setiap paku sama, yaitu masing-masing 0,5 maka dari segitiga Pascal dapat dihitung peluangnya sebagai contoh pada tingkat 3, nilainya adalah 1, 3, 3, dan 1. Jumlah semuanya adalah 1+3+3+1 = 8, maka peluang tiap kolom berturut-turut : 1/8, 3/8, 3/8, dan 1/8. Perhitungan peluang ini semakin menarik jika dilanjutkan untuk tingkat yang lebih banyak, semisal hingga 20 tingkat seperti pada excel ini. Bila hasil pada tingkat ke-20 dibuat histogramnya (diagram batang) maka akan kita lihat, peluang pada bagian tengah memiliki nilai tertinggi, seperti terlihat pada gambar di bawah. Papan Galton ini kadang dipelajari dalam ilmu statistik, misalnya berkaitan dengan distribusi binomial.

Yang menarik adalah apabila peluang ke kiri dan ke kanan tidak seimbang, misal ke kiri = 0,75 dan ke kanan = 0,25 bagaimana distribusi peluang banyaknya bola dalam setiap kolom? Excel ini dapat mendemonstrasikan untuk hal tersebut, anda tinggal menggeser spin button di bagian kiri atas atau scroll bar di bagian bawah sheet ‘Galton’ pada excel ini.

Bila anda tertarik untuk mempelajari lebih lanjut, silakan mencoba sendiri. Excel ini bebas untuk dimodifikasi untuk keperluan apapun dan siapapun. Silakan unduh file segititgapascal.xlsx di tautan di bawah ini: